keep on 続ける

米Yahoo! Ansowers の恋愛に関する相談より。

Should I give up or keep on trying?

あきらめた方が良いか、それとも頑張り続けた方が良いか?

2年間好きな女の子がいて、以前は彼女も自分が好きだったが今はもうそうではない。彼女のことをあきらめた方が良いのかそれとも、彼女が自分を好きになるように頑張り続けた方が良いのかという相談内容です。

通常onの後は動詞のing型となり、keep on ～ing で ～し続ける となります。